Un problème à faire de tête (et idéalement couché dans son lit)

L'énigme

Connaissez-vous Charles L. Dodgson, mathématicien anglais du 19e siècle? Non? Et Lewis Carroll, l'auteur d’Alice au pays des merveilles? Oui? Alors vous auriez pu répondre tout aussi positivement à la première question, car Lewis Carroll n'est autre que le pseudonyme littéraire de Charles L. Dodgson.

Vous arrive-t-il de vous réveiller la nuit et de ne pas retrouver le sommeil? Ce type de problème semblait affecter régulièrement Charles L. Dodgson, car il a écrit un livre entier d’énigmes mathématiques à résoudre de tête pendant ces moments. En voici un, écrit le 7 février 1876:

Si ε, α et γ représentent des fractions d’entiers, et si, dans un certain hôpital une fraction ε des patients ont perdu un œil, α un bras et γ une jambe, quelle est la plus petite fraction ayant perdu les trois?

Tiré de Énigmes mathématiques de Lewis Carroll, Traduit et adapté par Élisabeth Busser, Éditions Pôle, Paris, 1999.

La solution

Voici la solution proposée par Charles L. Dodgson :

Désignons par O l’ensemble des personnes ayant perdu un œil, par B celui de ceux qui ont perdu un bras, L une jambe.

L’ensemble des personnes ayant perdu les trois est en plus faible proportion si l’ensemble (O ⋂ B) est lui-même en proportion minimale, cette proportion étant de

ε - (1 - α) = α + ε - 1.

On cherche maintenant à minimiser (O ⋂ B ⋂ L), dont les individus sont en proportion α + ε - 1 -  (1 - λ), c'est-à-dire

α + ε  + λ - 2

Tiré de Énigmes mathématiques de Lewis Carroll, Traduit et adapté par Élisabeth Busser, Éditions Pôle, Paris, 1999.

Mathscope, Université de Genève, RTS Découverte