Le château de cartes

Pour faire un château de cartes, prenez deux cartes et faites-les tenir ensemble en formant un triangle. Vous avez construit un château à un étage.

Pour construire un deuxième étage, ajoutez une paire de cartes à côté de la première paire. Puis, posez une carte horizontalement et posez une troisième paire de cartes sur cette dernière.

Ainsi de suite, vous parviendrez à construire un château à 100 étages.

Combien de cartes avez-vous utilisé pour construire votre château de cartes de 100 étages ?

La solution

Il faudra 15 050 cartes.

Voici une manière de les compter.

Pour faire le premier étage, il faut utiliser 2 cartes. Mais, au vu de la manière de construire les étages supérieurs, considérons que nous utilisons un groupe de 3 cartes dont nous enlevons la carte du dessous. On utilise donc 3 – 1 cartes (ce qui fait bien 2 cartes…)

Pour le deuxième étage, on ajoute aux 3 – 1 cartes précédentes 2 groupes de trois cartes desquels on enlève une carte du dessous. On utilise donc

3 – 1 + (2 ∙ 3) – 1 cartes.

Pour le troisième étage, on ajoute à l’étage précédent 3 groupes de trois cartes desquels on enlève à nouveau une carte du dessous. On utilise donc

3 – 1 + (2 ∙ 3) – 1 + (3 ∙ 3) – 1 cartes.

Et ainsi de suite. Ainsi, pour le 100 étage, on ajoutera aux cartes précédentes 100 groupes de trois cartes desquels on enlève à nouveau une carte du dessous. On utilisera donc

3 – 1 + (2 ∙ 3) – 1 + (3 ∙ 3) – 1 + … + (100 ∙ 3) – 1 cartes.

Les mathématiciens écriraient :

Il s’agit maintenant de faire un peu d’ordre dans cette somme. En séparant les -1 et en mettant en évidence le 3, on obtient :

3 ∙ (1 + 2 + 3 + … + 100) – 100 cartes.

En se rappelant la formule dite « du jeune Gauss » (voir par exemple le problème du mois d’avril 2011) qui dit que la somme des nomes de 1 à n égale n(n+1)/2, on obtient :

3 ∙ (100 ∙ 101/2) – 100 = 3 ∙ 5 050 – 100 = 15 050 cartes.

Mathscope, Université de Genève, RTS Découverte