Dates et palindromes

L'énigme

En septembre, les anglo-saxons fêtaient la semaine palindromique. Pendant 10 jours, du 10 au 19 septembre, les dates pouvaient être lues aussi bien par la gauche que par la droite, exactement comme le mot kayak.

En supposant qu'une date peut s’écrire sous la forme M/JJ/AA ou MM/JJ/AA suivant si le numéro du mois comprend un ou deux chiffres, combien de semaines palindromiques peut-on avoir par siècle?

La solution

Dans un siècle, il existe 27 années possédant une semaine palindromique, à savoir les années 01 à 09, 11 à 19 et 21 à 29.

Toute la difficulté de ce problème de combinatoire réside dans le fait de bien distinguer les cas.

Considérons tout d’abord le cas où le mois ne comporte qu’un chiffre; autrement dit, lorsque la date s’écrit comme M/JJ/AA. Pour plus de clarté, nommons chacun des chiffres de la date de la manière suivante :

M/J₁J₂/A₁A₂

Maintenant, établissons clairement toutes les contraintes sur ces 5 chiffres.

Pour avoir un palindrome, il faut que M = A2 et J1 = A1Le mois 0 n’existe pas, donc M  ∈ {1;2;3;4;5;6;7;8;9}Les jours ne peuvent commencer que par 0, 1, 2 ou 3, donc J1 ∈ {0;1;2;3}Si J1 = 0, alors J2 ∈ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} (pas de jour 00)Si J1 = 3, alors J2 ∈ {0;1} et M ≠ 2

Au vu des contraintes 3, 4 et 5, commençons par étudier le cas où J1 ∈ {1;2}

Dans ce cas, nous avons :

• 9 possibilités pour M (contrainte2)

• 2 possibilités pour J₁ (cas étudié)

• 10 possibilités pour J₂ (ou 9 dans le cas où M = 2 (février)

Comme M = A₂ et J₁ = A₁ (contrainte 1), nous avons donc un total de 9 · 2 = 18 années où une semaine palindromique serait possible et pour lesquelles la "semaine" durerait 10 jours (sauf dans le cas de février). Il s’agit effectivement des années 11 à 19 et 21 à 29.

Notons au passage qu’il n’y a pas de semaine palindromique comportant un 29 février. En effet, la date s’écrirait nécessairement 2/29/22 et l’année 22 n’est pas bissextile.

Considérons maintenant le cas où J₁=0.

Dans ce cas la date s’écrirait:

M/0 J₂/0 A₂

Avec

• 9 possibilités pour M (contrainte 2)

• 9 possibilités pour J₂ (contrainte 4)

Comme M = A₂ (contrainte 1), nous avons donc un total de 9 années où une semaine palindromique serait possible et pour lesquelles la "semaine" durerait 9 jours (sauf dans le cas de février). Il s’agit effectivement des années 01 à 09.

Considérons maintenant le cas où J₁=3.

Dans ce cas la date s’écrirait:

M/30/3 A₂ ou M/31/3 A₂

On aurait bien deux jours palindromiques consécutifs, mais cela n’en fait pas une "semaine". On peut tout de même noter que ce cas se produit 9 fois par siècle, les années 31 à 39.

Nous avons maintenant étudié tous les cas où la date s’écrit sous la forme M/JJ/AA.

Étudions maintenant le cas où la date s’écrit comme MM/JJ/AA.

À nouveau, nommons chacun des chiffres de la date de la manière suivante :

M₁M₂/J₁J₂/A₁A₂

Et établissons clairement toutes les contraintes sur ces 6 chiffres.

Pour avoir un palindrome, il faut que

a) M₁ = A₂
b) M₂ = A₁
c) J₁ = J₂

2. M₁ = 1
3. M2 ∈ {0;1;2}
4. Les jours ne peuvent commencer que par 0, 1, 2 ou 3, donc J₁ ∈ {0;1;2;3}

La contrainte 1c, permet uniquement des jours de la forme 11 ou 22, ce qui ne permet pas d’avoir une semaine palindromique. On peut tout de même noter que ce genre de jours palindromiques se produit deux fois par an les années 01, 11 et 21, respectivement en octobre, novembre et décembre.

Profitez donc bien des 9 dernières semaines palindromiques du siècle de 2021 à 2029!

Mathscope, Université de Genève, RTS Découverte