Les joies des voyages à plusieurs

Trois amies décident de partir à Venise pour les fêtes de fin d’année: Shaula, son compagnon, ses deux enfants ainsi que Anne-Sophie et ses deux enfants voyageront ensemble tandis que Joana les rejoindra dans le courant de la semaine. Puis, ils rentreront tous les huit à Genève par le même train.

Le compagnon de Shaula se propose d’aller acheter les billets à la gare. Il en revient quelque peu embarrassé. En effet, il reçoit les billets suivants sans détail des différents tarifs:

Genève → Venise
7 personnes: 2 HTX – 1 Par HTX – 4 CHILD                             351.-

Genève → Venise
1 personne: 1 HTX                                                                 102.-

Venise → Genève
8 personnes: 3 HTX – 1 Par HTX – 4 CHILD                             453.-

Sachant que

• Les quatre enfants voyagent tous au même tarif;

• Trois adultes ont le demi-tarif (HTX) et voyagent donc avec le même tarif;

• Un adulte possède en plus du demi-tarif un abonnement pour les trajets Genève-Lausanne (Par) et par conséquent ne paye pas sur ce tronçon;

• La distance en train entre Genève et Venise et de 487 km et celle entre Lausanne et Venise et de 456 km;

• À environ 50 centimes près, le prix du billet et proportionnel à la distance parcourue.

Quel est le tarif appliqué à chacun des voyageurs ?

Solution
Les adultes payent 102.-, les enfants 13.- et celui avec un abonnement Lausanne-Genève 95.-.

En effet, grâce au billet de Joana, nous savons qu’un adulte (muni d’un demi-tarif) paye 102.-

Comme le tarif du train est proportionnel à la distance, à 50 centimes près, nous pouvons calculer le prix du billet de la personne possédant un abonnement Genève-Lausanne en prenant le rapport entre la distance Lausanne-Venise et Genève-Venise et en le multipliant par le prix Genève-Venise.

456/487 · 102 ≈ 95.51

Ainsi, avec l’arrondi à plus ou moins 50 centimes, ce billet coûte soit 95.- soit 96.-.

Il reste à déterminer le prix du billet des enfants, ce qui est aisé puisqu’on connaît les tarifs des  adultes. Ainsi, le billet aller à 351.- comprend 2 Genève-Venise à 102.-, un Lausanne-Venise à 95.50 ±0.50 et 4 enfants. Ainsi :

351 = 2 · 102 + 95.50 ± 0.50 + 4c
51.5 ± 0.50 = 4c
12.875 ± 0.125 = c

Ce qui fait un tarif enfant à 13.- ou 12.75. Si on suppose que les prix des billets sont entiers, on peut admettre le tarif enfant à 13.- et celui du Lausanne-Genève à 95.-.

Mathscope, Université de Genève, RTS Découverte