Problème d'un voyageur de commerce
Tous les mois, retrouvez ici le problème de maths du mois concocté pour vous par le Mathscope de l'Université de Genève, avec, quelque temps plus tard, sa solution. En ce mois de février 2020, on vous propose un problème de mathématiques médiéval.
Voici un problème tiré d’un ouvrage de Luca Pacioli imprimé en 1494.
Quelqu'un a fait un certain voyage, et porte (au départ) autant d’argent qu'il fait de voyages. À chaque voyage qu'il fait, il double toujours son argent. À la fin de ses voyages il se trouve avec en tout 30 ducats. Je demande combien de voyages il fit et combien de ducats il emmena.
Problème tiré de Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proportionalità, Luca Pacioli, Venise 1494, cité et traduit dans Récréations mathématiques au Moyen Âge, Jacques Sesiano, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, 2014.
Solution
Si on pose n le nombre de voyages qui est aussi le nombre de ducats que le voyageur a au départ, nous pouvons poser l’équation
2n · n = 30
On pourrait alors se lancer dans la résolution de l’équation à l’aide des logarithmes. Or, les premières tables de logarithmes n’apparaissent que vers la toute fin du XVIe siècle, soit près d’un siècle après la publication du livre de Luca Pacioli.
Il faut donc se résoudre à utiliser uniquement la résolution d’équations de degré au plus trois.
Tout d’abord, donnons une estimation entière à ce nombre n.
Si n = 2, le nombre de ducats après le deuxième voyage vaudra 8.
Si n = 3, le nombre de ducats après le troisième voyage vaudra 24.
Si n = 4, le nombre de ducats après le quatrième voyage vaudra 64.
Le voyageur effectue donc trois voyages plus un bout du quatrième (l’histoire ne nous explique pas comment ce fait peut se produire, mais admettons). Nous pouvons donc poser que
n = 3 + x
où x est un nombre entre 0 et 1 qu’il s’agit maintenant de calculer.
A la fin du premier voyage, le voyageur double son argent : il aura donc 2(3 + x) = 6 + 2x ducats.
A la fin du deuxième voyage, le voyageur double à nouveau son argent : il aura donc 2(6 + 2x) = 12 + 4x ducats.
A la fin du troisième voyage, le voyageur double encore son argent : il aura donc 2(12 + 4x) = 24 + 8x ducats.
Commence ensuite son quatrième voyage dont il n’effectue qu’une partie x. En admettant que ses gains sont proportionnels à la part de voyage qu’il effectue, on peut alors poser que le voyageur gagne
(24 + 8x) + x · (24 + 8x) = 30 ducats
Soit l’argent qu’il avait avant d’entamer son quatrième voyage plus une part de son gain proportionnelle à la partie effectuée de son voyage.
On obtient ainsi l’équation du deuxième degré :
24 + 32x + 8x = 30
Dont la solution positive est :
x = √(4+3/4) - 2
Ce qui fournit un nombre de voyages et de ducats au départ de :
n = 3 + x = 1 + √(4+3/4) ≅ 3.18
Librement adapté de Récréations mathématiques au Moyen Âge, Jacques Sesiano, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, 2014.
Mathscope, Université de Genève, RTS Découverte
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