La solution!

L'ingrédient-clé est le Théorème de la hauteur.

Notons I, J et K les sommets du triangle équilatéral et notons de plus M le milieu du segment [IK]. Ce triangle a la même aire qu'un rectangle de côtés [MI] et [MJ]. Il s'agit donc de construire un carré de même aire que ce rectangle.

Pour cela, nous allons utiliser le théorème de la hauteur dont l'énoncé est le suivant:

Théorème de la hauteur:
Etant donné un triangle ABC, rectangle en A, notons H le pied de la hauteur issue de A.
Alors HA= HC ∙ HB.

Si on l’interprète de manière géométrique et non seulement comme une relation sur les longueurs, ce théorème permet de construire un carré de côté [HA] de même aire qu’un rectangle de côtés [HC] et [HB].

Appliquons donc le Théorème de la hauteur à notre rectangle de côtés [MI] et [MJ] : sur une droite d, reporter les longueurs MI et MJ. On obtient ainsi les trois points alignés I M et J (les noms correspondent aux points du triangle de départ). Tracer h, la perpendiculaire à la droite d passant par M.

Construire c, le cercle de diamètre IJ. Notons F l’intersection entre le cercle c et la perpendiculaire h. Nous avons ainsi construit un triangle FIJ rectangle en F avec une hauteur [FM] issue de F (grâce au cercle de Thalès). La hauteur [FM] est le côté du carré de même aire que le triangle IJK.

Université de Genève, RTSdécouverte