La solution!

Le problème

Juste avant la pause de midi, l'un de vos collègues vous propose le pari suivant: "J’ai sous mes yeux un annuaire contenant la liste de toutes les communes suisses avec leur nombre d'habitants. On ouvre le livre au hasard, on pointe au hasard sur une commune et on regarde le nombre d'habitants. Si le premier chiffre est supérieur ou égal à 5, je t'invite au resto qui vient d’ouvrir, sinon, c'est toi qui invites!". Est-ce que vous acceptez de parier?

La solution

A première vue, comme il y a 9 premiers chiffres possibles, vous avez 5 chances sur 9 (soit une probabilité d’environ 56%) de gagner. Cependant, lorsque l'on regarde le premier chiffre de la population d'une commune ou d'un pays, de la longueur d’une rivière ou des prix dans un catalogue (voir le graphique), il est plus fréquent de tomber sur 1 que sur 2, de tomber sur 2 que sur 3 et ainsi de suite.

Le premier à s'en être aperçu est l’astronome anglais Simon Newcomb en 1881. Il s'est en effet rendu compte que les premières pages de ses tables de logarithme étaient beaucoup plus usées que les dernières. Il publia en article sur ce sujet dans le Journal of Mathematics, mais il passa totalement inaperçu. Lorsque 57 ans plus tard Frank Benford fait la même constatation et publie à son tour un article sur le sujet, cette loi devient célèbre et prend son nom.

Newcomb et Benford proposent tous deux une manière pour calculer cette probabilité: si non note n le premier chiffre d'un nombre, la probabilité de tomber sur n est donnée par:

log(1 + 1/n)

où log désigne le logarithme en base 10.

A l'aide de cette formule, on peut calculer la probabilité que vous gagniez le pari: seulement environ 30,11%. Vous nj'avez donc pas intérêt à parier!

Université de Genève, RTSdécouverte. Librement tiré de Énigmes mathématiques pour les Nuls, Nicolas Conti, Éditions First, 2013.

Quelques références: L'étonnante loi de Benford, La loi de Benford, La loi de Benford sur Wikipédia