![Solution au problème du mois de RTSdécouverte du mois de juillet 2014 [Crédit image: SFV]](https://img.rts.ch/articles/2014/image/5jk6cw-27854038.image?w=1280&h=720 "Solution au problème du mois de RTSdécouverte du mois de juillet 2014 [Crédit image: SFV]")
Tous les mois, retrouvez ici le problème du mois, avec, quelque temps plus tard, sa solution. En ce mois de juillet 2014, on vous proposait d'élucider une énigme de cube troué.
Le problème
Un menuisier vient de s’acheter une nouvelle perceuse et décide de l'essayer en perçant un cube en bois qui traînait sur son établi. Il perce perpendiculairement et de part en part le cube de telle sorte à obtenir un trou sur chaque face. Amusé par ce nouvel objet, il sort de son atelier et tombe sur son voisin mathématicien. Celui-ci observe attentivement le cube troué et s'exclame: "Quel magnifique objet! Mais savez-vous combien de trous il possède?" Que doit répondre le menuisier? Petite indication: imaginez que le cube est composé d'une matière élastique qui ne peut ni se déchirer ni se recoller.
La solution
Le menuisier doit répondre: 5 trous. La première question qu'il faut se poser est: qu'est-ce qu'un trou? La première définition intuitive convient parfaitement: un trou est une perforation qui traverse l'objet de part en part. Le mathématicien ajoute une petite subtilité à cette définition: imaginez que l'objet soit fait en une matière élastique qui ne peut ni se déchirer ni se recoller; un trou doit alors être conservé lorsqu'on déforme l'objet. Voici le raisonnement du mathématicien: élargissons le trou supérieur et déformons notre cube pour obtenir un objet ressemblant à une chambre à air (voir figure de gauche). Nous avons alors un trou central et quatre petits tunnels qui traversent la chambre à air de part et d'autre (donc ce sont bien des trous). Pour se convaincre encore plus, on peut faire tourner la chambre à air de telle sorte que les ouvertures des tunnels soient sur le dessus de la chambre à air (figure de droite). Nous avons bien 5 perforations qui traversent l'objet de part en part. Mais revenons au menuisier avec sa perceuse. Lui aussi à bien fait 5 trous. Examinons de plus près ses percées: lorsqu'il fait sa première percée, il traverse effectivement le cube de part en part et fait donc 1 trou. Lorsqu'il fait la deuxième percée, il traverse le cube jusqu'au centre. Là sa perceuse ressort de l’objet dans le premier trou, il a ainsi fait un deuxième trou. Puis sa perceuse continue, entre à nouveau dans l'objet et sort du côté opposé. Lors de la deuxième percée, il a donc fait 2 trous. De même lors de la troisième percée. Il a donc bien fait 5 trous!
Université de Genève, RTSdécouverte
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