![Puzzle Echiquier, problème du mois de septembre 2014 RTSdécouverte [SFV]](https://img.rts.ch/articles/2014/image/e7n7bb-27854490.image?w=1280&h=720 "Puzzle Echiquier, problème du mois de septembre 2014 RTSdécouverte [SFV]")
La solution!
Tous les mois, retrouvez ici le problème du mois, avec, quelque temps plus tard, sa solution. En ce mois de septembre 2014, on vous propose d'élucider un puzzle d'échecs.
L'énigme
Vous disposez d'une vingtaine de pièces du type A et d'une quinzaine du type B. Pourrez-vous recouvrir complètement un échiquier avec ces pièces?
La solution
Un échiquier comporte 64 cases dont 32 blanches et 32 noires. Nous allons chercher le nombre de pièces A et B nécessaires à le recouvrir.
Supposons qu'on ait besoin de x pièces A et de y pièces B. Alors le nombre de cases noires recouvertes par les pièces est donné par:
2x + y = 32.
En effet, la pièce A permet de recouvrir 2 cases noires tandis que la pièce B permet d'en recouvrir une. De la même manière, le nombre de cases blanches recouvertes par les pièces est donné par:
x + 3y = 32.
De la deuxième équation, on tire que x = 32 – 3y. En remplaçant ceci dans la première équation, on obtient:
2(32 – 3y) + 3y = 32
d'où l'on tire que y = 32/5 qui n’est pas un nombre entier! A moins de scier des pièces, il n'est donc pas possible de recouvrir l'échiquier à l'aide des pièces A et B. On remarque au passage une jolie utilisation de l'algèbre qui vient au secours de la combinatoire pour décider si un problème admet ou non une solution.
Université de Genève, RTSdécouverte
Adapté de 200 énigmes mathématiques d'Eureka, Valmonde édition, Paris, 2000.
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