La solution!

L'énigme

Marcelo voit passer un bus, une moto et une voiture (dans cet ordre) depuis sa fenêtre. Muni d'un chronomètre, il constate que le temps écoulé entre le passage du bus et de la moto est le même que le temps écoulé entre la moto et la voiture.

Matan voit un peu plus tard les mêmes véhicules passer devant sa fenêtre, mais dans un ordre différent: d'abord le bus puis la voiture et ensuite la moto. Lui aussi chronomètre les temps de passage entre le bus et la voiture, et la voiture et la moto, et son chronomètre affiche le même temps que celui de Marcelo.

Si la voiture a une vitesse de 60 km/h et la moto de 30 km/h, quelle est la vitesse du bus?

La solution

Le bus roule à 40 km/h. En effet, considérons que le temps mesuré par les deux observateurs vaut  t et que la distance entre leurs maisons vaut d. Considérons de plus que le temps écoulé entre les deux observations vaut T.

Ainsi, le bus passe devant Marcelo au temps 0, la moto au temps t et la voiture au temps 2t. Puis, avoir parcouru une distance d, les véhicules passent devant Matan au temps T pour le bus, au temps T + t pour la voiture et au temps T + 2t pour la moto.

On sait que les vitesses des trois véhicules sont constantes. Ainsi, on peut calculer leur vitesse comme la distance parcourue divisée par le temps écoulé entre les deux observations.

Ainsi:

Vitesse de la moto:       v_m = d / ((T + 2t) – t) = d / (T + t) = 30 km/h

Vitesse de la voiture:    v_v = d / ((T + t) – 2t) = d / (T – t) = 60 km/h

Vitesse du bus:            v_b = d / T

Des deux premières équations, on tire que:

d = 30(T + t) = 60(T – t)

d'où

T = 3t

Comme d = 30(T + t), on obtient que

d = 120t.

En insérant cela dans l'équation de la vitesse du bus, on obtient:

v_b = d / T = 120t / 3t = 40 km/h

Question subsidiaire

Quand la moto et la voiture se sont-elles croisées?

(Réponse au prochain problème du mois)

Mathscope, Université de Genève, RTSdécouverte