L'énigme
Le jeune Matteo joue avec ses cubes. Il s'amuse à les empiler dans un coin de sa chambre comme dans le dessin ci-dessus. Sa mère entre dans la chambre et, en voyant l'empilement, lui pose la question suivante: combien de faces verras-tu lorsque tu auras utilisé tous tes 84 cubes? Pouvez-vous aider Matteo à répondre à sa maman?
La solution
On verra 84 faces.
Il s'agit avant tout de comprendre comment est construite la pyramide de cubes.
On commence par 1 cube, dont on voit 3 faces.
À l'étape suivante, on ajoute 2 cubes au niveau le plus bas et 1 cube au-dessus. Les faces visibles sont trois faces de chacun des cubes ajoutés soit 3∙(1 + 2) = 9 faces.
À l'étape 2, on ajoute encore 3 cubes au niveau un, 2 cubes au niveau deux et 1 cube au niveau trois. Les faces visibles sont trois faces de chacun des cubes ajoutés soit 3∙(1 + 2 + 3) = 18 faces.
Et ainsi de suite, à chaque nouvelle étape n, on ajoute 1 + 2 + 3 + … + n cubes et les faces visibles sont 3∙(1 + 2 + 3+ … + n).
Il s'agit donc de trouver combien d'étapes sont nécessaires pour utiliser les 84 cubes. Comme les cubes ne sont pas très nombreux, on peut faire le calcul explicite:
Etape 1 1 = 1 cube
Etape 2 + 1 + 2 = 4 cubes
Etape 3 + 1 + 2 + 3 = 10 cubes
Etape 4 + 1 + 2 + 3 + 4 = 20 cubes
Etape 5 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 35 cubes
Etape 6 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 56 cubes
Etape 7 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 84 cubes
Matteo a donc effectué 7 étapes et le nombre de faces visibles est
3∙(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = 84 faces
Pour les amateurs d'algèbre, la formule qui donne le nombre de cubes pour chaque étape n’est pas difficile à établir. Il suffit de savoir que la somme des entiers de 1 à n et la somme des carrés de 1 à n sont données respectivement par:
On établit alors que le nombre de cubes utilisés à l'étape n est : n(n + 1)(n + 2)/6
et le nombre de faces visibles est donné par : 3n(n + 1)/2
Mathscope, Université de Genève, RTSdécouverte
Librement inspiré de Calendrier mathématique 2015: un défi quotidien, les motifs de la nature, Presses universitaires de Strasbourg, Strasbourg, 2015.