![Le problème de mathématiques du mois d'août 2015 [Crédit image: SFV]](https://img.rts.ch/articles/2015/image/4gvnvw-27823339.image?w=1280&h=720 "Le problème de mathématiques du mois d'août 2015 [Crédit image: SFV]")
La solution!
Tous les mois, retrouvez ici le problème de maths du mois concocté pour vous par le Mathscope de l'Université de Genève, avec, quelque temps plus tard, sa solution. En ce mois d'août, on vous propose d'élucider un problème d'empilement de cubes.
L'énigme
Le jeune Matteo joue avec ses cubes. Il s'amuse à les empiler dans un coin de sa chambre comme dans le dessin ci-dessus. Sa mère entre dans la chambre et, en voyant l'empilement, lui pose la question suivante: combien de faces verras-tu lorsque tu auras utilisé tous tes 84 cubes? Pouvez-vous aider Matteo à répondre à sa maman?
La solution
![Le problème de mathématiques du mois d'août 2015, la solution [Crédit image: SFV]](https://img.rts.ch/articles/2015/image/hd7bb9-27830067.image?mw=1280 "Le problème de mathématiques du mois d'août 2015, la solution [Crédit image: SFV]")
On verra 84 faces.
Il s'agit avant tout de comprendre comment est construite la pyramide de cubes.
On commence par 1 cube, dont on voit 3 faces.
À l'étape suivante, on ajoute 2 cubes au niveau le plus bas et 1 cube au-dessus. Les faces visibles sont trois faces de chacun des cubes ajoutés soit 3∙(1 + 2) = 9 faces.
À l'étape 2, on ajoute encore 3 cubes au niveau un, 2 cubes au niveau deux et 1 cube au niveau trois. Les faces visibles sont trois faces de chacun des cubes ajoutés soit 3∙(1 + 2 + 3) = 18 faces.
Et ainsi de suite, à chaque nouvelle étape n, on ajoute 1 + 2 + 3 + … + n cubes et les faces visibles sont 3∙(1 + 2 + 3+ … + n).
Il s'agit donc de trouver combien d'étapes sont nécessaires pour utiliser les 84 cubes. Comme les cubes ne sont pas très nombreux, on peut faire le calcul explicite:
Etape 1 1 = 1 cube
Etape 2 + 1 + 2 = 4 cubes
Etape 3 + 1 + 2 + 3 = 10 cubes
Etape 4 + 1 + 2 + 3 + 4 = 20 cubes
Etape 5 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 35 cubes
Etape 6 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 56 cubes
Etape 7 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 84 cubes
Matteo a donc effectué 7 étapes et le nombre de faces visibles est
3∙(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = 84 faces
Pour les amateurs d'algèbre, la formule qui donne le nombre de cubes pour chaque étape n’est pas difficile à établir. Il suffit de savoir que la somme des entiers de 1 à n et la somme des carrés de 1 à n sont données respectivement par:
![Solution du problème de maths du mois d'août 2015 [Mathscope]](https://img.rts.ch/articles/2015/image/lloh23-27830065.image?mw=1280 "Solution du problème de maths du mois d'août 2015 [Mathscope]")
On établit alors que le nombre de cubes utilisés à l'étape n est : n(n + 1)(n + 2)/6
et le nombre de faces visibles est donné par : 3n(n + 1)/2
Mathscope, Université de Genève, RTSdécouverte
Librement inspiré de Calendrier mathématique 2015: un défi quotidien, les motifs de la nature, Presses universitaires de Strasbourg, Strasbourg, 2015.
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