La solution!
Tous les mois, retrouvez ici le problème de maths du mois concocté pour vous par le Mathscope de l'Université de Genève, avec, quelque temps plus tard, sa solution. En ce mois d'octobre, on vous demande comment recruter un vizir intelligent.
L'énigme
Son altesse le Sultan doit remplacer son Vizir. Trois candidats se présentent. Comme le nouveau vizir doit être un homme intelligent, le Sultan trouve une astuce pour départager les prétendants. Il les aligne les uns derrière les autres de telle manière que le troisième voit la tête des deux candidats devant lui, le deuxième voit celle du premier et le premier ne voit rien. Le Sultan montre alors aux trois candidats cinq chapeaux: 3 noirs et 2 blancs, puis il leur met un bandeau sur les yeux. Il prend trois chapeaux et en met un sur chaque tête. Il enlève les bandeaux et demande aux candidats quelle est la couleur de leur chapeau. Quelques secondes de silence passent puis le dernier de la file répond: "Je ne sais pas!". Le second répond: "Moi non plus!". Alors, le premier de la file dit: "Je sais! La couleur de mon chapeau est...".
Comment a-t-il fait et quelle est la couleur de son chapeau?
La solution
Le troisième candidat dit: "mon chapeau est noir!" Comment a-t-il fait?
Si le premier avait vu deux chapeaux blancs, il aurait pu dire qu'il avait un chapeau noir (il n'y avait que deux chapeaux blancs au total). Or, il a répondu qu'il ne savait pas. Donc il a vu un ou deux chapeaux noirs. Le deuxième déduit de la réponse du premier qu'il y a au moins un chapeau noir. Donc, si le deuxième avait vu un chapeau blanc devant lui, il aurait pu dire qu'il avait le chapeau noir. Or, il a répondu qu'il ne savait pas. Donc il a vu un chapeau noir.
Et c'est exactement ce que déduit le troisième des réponses des deux premiers.
Mathscope, Université de Genève, RTSdécouverte
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