La solution!

L'énigme

Lors du réveillon de Noël, une grande famille se réunit dans le salon au coin du feu. Les grands-parents sont tout heureux et se disent que le temps passe trop vite. En effet, chacun des petits-enfants est accompagné de son amoureux. Au total, dix couples sont réunis autour du majestueux sapin de Noël.

Le repas est fin prêt et la maîtresse de maison invite la famille à passer à la salle à manger. On se presse mais la porte est étroite et ne laisse passer qu'une seule personne à la fois. Un des petits-enfants pose alors deux questions à sa compagne:

Combien de personnes au moins doivent-elles être entrées à la salle à manger pour être sûr d'y trouver au moins un couple? Et combien de personnes pour être sûr d'avoir deux personnes du même sexe?

La solution

Pour avoir au moins un couple, il faut que 11 personnes soient entrées à la salle à manger. Pour avoir deux personnes du même sexe, il faut que 3 personnes soient entrées. On utilise ici le principe des tiroirs de Dirichlet. C'est en observant ses chaussettes dans les tiroirs de sa commode que Dirichlet énonce son principe en 1834. L'idée est simple: si vous avez n chaussettes rangées dans m tiroirs, et si n est plus grand que m, alors au moins un tiroir doit contenir strictement plus d'une chaussette.

Dans le cas de la première question, les tiroirs correspondent aux 10 couples. Il faut donc 11 personnes pour être sûr qu'au moins un couple soit formé. Notons que, comme on parle de couples, le fait qu'il soient hétérosexuels ou homosexuels ne change rien à la résolution du problème.

Dans le cas de la deuxième question, les tiroirs correspondent aux deux sexes, homme et femme, il y en a donc deux et il faut par conséquent trois personnes pour être sûrs d’avoir deux personnes du même sexe.

Tous nos veux pour un très joyeux Noël !

Mathscope, Université de Genève, RTSdécouverte