Tous les mois, retrouvez ici le problème de maths du mois concocté pour vous par le Mathscope de l'Université de Genève, avec, quelque temps plus tard, sa solution. En ce mois de janvier, avec les longues nuit d'hiver, on vous propose de résoudre une interrogation du soir.
Le problème
Quand je mets mon bonnet de nuit, j'enlève mes pantoufles. Quand j'enlève mon bonnet de nuit, je mets mon pyjama. Quand j'ai mon bonnet de nuit sans être en pantoufles, je prends mes lunettes. Quand j'enlève mon pyjama, je mets mon bonnet de nuit. Quand je n'ai ni bonnet de nuit, ni pantoufles, je prends mes lunettes. Or, ce soir je n'ai pas mes lunettes. Suis-je en pyjama?
La solution
![Dans ces diagrammes, on met en grisé les parties que l'on ne considère pas et en hachuré les parties vides déduites des affirmations. [Mathscope - SVF]](https://img.rts.ch/articles/2016/image/va2qz9-27816271.image?mw=1280 "Dans ces diagrammes, on met en grisé les parties que l'on ne considère pas et en hachuré les parties vides déduites des affirmations. [Mathscope - SVF]")
J'ai bien mon pyjama.
Représentons toutes les combinaisons d'habillage possibles à l'aide d'un diagramme.
Notons
Py l'évènement je suis en pyjama
Pa l'évènement j'ai des pantoufles
B l'évènement j'ai un bonnet de nuit
L l'évènement j'ai mes lunettes
On représente ces quatre évènements par quatre ensembles. L'idée est de voir que certaines parties de ces ensembles sont vides (c'est-à-dire qui ne se réalisent pas), ce qui permettra de déduire la réponse.
Relisons le texte :
-
Quand je mets mon bonnet de nuit, j’enlève mes pantoufles.
On ne considère que les ensembles B et Pa (vignette I). Si on se restreint à l'ensemble B (quand j'ai mon bonnet de nuit), l'intersection avec Pa est vide (j'enlève mes pantoufles, i.e. je ne peux pas à la fois avoir un bonnet de nuit et des pantoufles). -
Quand j’enlève mon bonnet de nuit, je mets mon pyjama.
On ne considère que les ensembles B et Py (vignette II). Si on se restreint à tout sauf l'ensemble B (quand j'enlève mon bonnet), alors on est forcément dans Py (je mets mon pyjama). Par conséquent, tout ce qui n'appartient ni à B ni à Py est vide. -
Quand j’ai mon bonnet de nuit sans être en pantoufles, je prends mes lunettes.
On ne considère que les ensembles B et Pa et L (vignette III). Si on se restreint à l'ensemble B sans son intersection avec Pa (quand j'ai mon bonnet de nuit sans être en pantoufle), alors on est forcément dans L (je prends mes lunettes). Par conséquent, seule l'intersection entre B et L est non vide. -
Quand j’enlève mon pyjama, je mets mon bonnet de nuit.
C'est la contraposée de la deuxième affirmation. On en déduit exactement la même chose que sur la vignette II. Cette affirmation n'apporte pas de nouvelles informations. -
Quand je n’ai ni bonnet de nuit, ni pantoufles, je prends mes lunettes.
On ne considère que les ensembles B et Pa et L (vignette IV). Si on considère tout sauf les ensembles B et Pa (quand je n'ai ni bonnet de nuit, ni pantoufles), seul l'ensemble L est non vide.
En reportant tout ceci dans le diagramme avec les quatre ensembles, on obtient la vignette V. La question: je n’ai pas mes lunettes, est-ce que je suis en pyjama? revient alors à regarder ce qui est en dehors de L. Or, le seul sous-ensemble non vide en dehors de L est l'intersection entre Py et Pa. Je suis donc bien en pyjama et avec mes pantoufles.
Comme souvent en logique, il est tout à fait possible de choisir une autre représentation, par exemple un arbre, pour arriver au même résultat.
Mathscope, Université de Genève, RTS Découverte
Tiré de Eurêka, Récréations mathémaiques, Dunod, Paris, 1982
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