La solution!
Tous les mois, retrouvez ici le problème de maths du mois concocté pour vous par le Mathscope de l'Université de Genève, avec, quelque temps plus tard, sa solution. En ce mois de mars, on vous propose d'élucider un problème d'oeufs cassés.
L'énigme
Voici ce que l'on peut lire dans un livre imprimé à Lyon au 16 siècle, Le Livre de chiffres et de getz:
"Une jeune fille portoit des oeufz au marché vendre, et rencontra ung jeune filz qui se vouloit jouer avec elle, et rompit et cassa tous ses oeufz, et ne les voulut payer. Elle le fist adjourner (assigner) devant le juge. Le juge le condampna à payer les oeufz. Mais le juge ne sçavoit combien il y en avoit, et le demanda à la fille. Elle dist qu'elle n’en sçavoit rien, car elle estoit jeune et ne sçavoit point conter; mais elle les avoit ordonnez par 2 et 2, et demouroit 1 œuf; et puis par 3 et 3, et demouroit 1 œuf et puis par 4 et 4 et demouroit 1, et puis par 5 et 5 et demouroit 1, et puis par 6 et 6 et demouroit 1, et puis par 7 et 7 et ne demouroit rien."
Combien la jeune fille portait-elle d'œufs au marché?
La solution
La source historique indique 721 œufs. Cependant, 301 œufs auraient aussi convenu. En effet, on cherche un nombre n tel que si on divise n par 2, 3, 4, 5 ou 6, on obtient toujours un reste de 1. Mais si on divise n par 7, on n'obtient pas de reste. Ceci revient à dire que n est un multiple de 7 et (n-1) est un multiple de 2, de 3, de 4, de 5 et de 6.
Cherchons alors un multiple commun de 2, 3, 4, 5 et 6. La manière la plus simple est de multiplier tous les nombres entre eux: 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720. Et comme 721 est un multiple de 7, le nombre d'œufs serait 721.
Toutefois, il existe une infinité de multiples communs à 2, 3, 4, 5 et 6. Il est intéressant de chercher le plus petit d'entre eux (le ppcm, le plus petit commun multiple). Il s'agit de 60. En fait, tout multiple de 60 est à la fois multiple de 2, 3, 4, 5 et 6.
Cependant, 61 ne convient pas à notre problème, car 61 n’est pas divisible par 7, tout comme 121 (= 2 ∙ 60 + 1), 181 (= 3 ∙ 60 + 1) ou 241 (= 4 ∙ 60 + 1). En revanche, 301 (= 5 ∙ 60 + 1) est lui un multiple de 7 (= 43 ∙ 7) et convient donc comme solution à notre problème. Il s'agit en fait du plus petit entier satisfaisant à notre problème.
Pour trouver toutes les réponses possibles, il faut trouver le ppcm de 2, 3, 4, 5, 6 et 7. Il s'agit de 420. La solution générale est alors de la forme:
301 + 420k pour tout k entier naturel.
Mathscope, Université de Genève, RTS Découverte
Tiré de Récréations mathématiques au Moyen Âge, Jacques Sesiano, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, 2014.
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