La solution!

L'énigme

Existe-t-il des carrés de nombres entiers se terminant par trois chiffres identiques différents de 0?

La solution

La réponse est oui. Un exemple est 1444, le carré de 38. Notons que les trois suivants sont 213'444 = 462², 289'444 = 538² et 925'444 = 962².

On peut procéder par essais successifs mais on peut aussi faire un petit raisonnement mathématique:

Pour savoir par quels chiffres peut se terminer le carré d'un nombre entier N, il suffit de connaître les terminaisons des carrés des nombres de 0 à 9. En effet, on peut écrire n'importe quel nombre sous la forme:

N = 10a + b

avec b compris entre 0 et 9. De cette manière, on sépare les unités (et donc le chiffre final) du reste. Lorsque l'on élève cette expression au carré, on obtient:

N² = (10a + b)² = 100a² + 20ab + b²

que l'on peut aussi  écrire sous la forme:

N² = 10(10a² + 2ab) + b².

On voit ainsi que seul le carré du chiffre des unités de N contribue aux unités de N².

Or, les carrés des nombres de 1 à 9 sont respectivement:

0             1             4             9             16           25           36           49           64           81

Donc les terminaisons possibles pour N sont: 0, 1, 4, 5, 6 et 9.

Le chiffre des dizaines de N² est la somme du chiffre des dizaines de b² avec les unités de 2ab. Pour obtenir 11, 55, 66 ou 99 à la fin de N², il faudrait que les unités de 2ab soient 1, 3, 5 ou 9 selon les cas. Ce qui est impossible, car 2ab est pair.

Par exemple, pour que N² se termine par 5, il faut que b² = 25 et donc les unités de 2ab devraient valoir 3, car 25 + 30 = 55.

Il en résulte la condition nécessaire suivante: s'il existe, un tel N² doit se terminer par 444. Ce qui permet de tester uniquement les nombres se terminant de la sorte, le premier étant 1444 = 38².

Mathscope, Université de Genève, RTS Découverte