La solution!

L'énigme

Toutes ces frises vont par paires sauf deux. Sauriez-vous trouver selon quel critère et quelles sont les "célibataires"?

La solution

Les paires sont:

1 et 7
2 et 8    
3 et 5    
4 et 9    
6 et 10

Les "célibataires" sont donc les frises 11 et 12. En effet, on peut classer les frises grâce à leurs symétries. Mathématiquement, une frise est définie par un motif (encadré en rouge sur l’image) se répétant périodiquement dans une direction donnée. Mais outre cette translation, on peut trouver d’autres symétries qui laissent la frise inchangée. Ces symétries sont:

- une symétrie axiale d’axe vertical (en jaune sur l'image)
- une symétrie axiale d’axe horizontal (en vert sur l'image)
- une symétrie centrale (c'est-à-dire une rotation de 180°) (les points rouges sur l’image)
- une trans-symétrie ou symétrie glissée, c'est-à-dire que l’on fait d’abord une symétrie d'axe horizontal que l'on translate (représentée par la flèche bleue sur l'image)

Chaque frise peut admettre aucune, une ou plusieurs de ces quatre symétries. Ceci permet de classer toutes les frises en 7 groupes, à isomorphisme près.

Mathscope, Université de Genève, RTS Découverte