La solution!

L'énigme

A l'occasion de l'Euro 2016, on vous propose de vous pencher sur la véritable star de cette compétition footballistique: le ballon. On a tous en tête le ballon composé d'hexagones et de pentagones, utilisé pour la première fois lors de l'Euro 1968 et qui constitue désormais un standard. Un mathématicien vous dirait qu'il s’agit d'un icosaèdre tronqué.

Mais depuis l'Euro 2008, les ingénieurs essayent de trouver une nouvelle forme (avec plus ou moins de succès). Pour cette édition, le nouveau ballon Beau jeu, dont la forme est très semblable à celle du Brazuca (utilisé lors de la Coupe du monde 2014), possède une forme très particulière qui est au centre du problème de ce mois.

Bien que les six pièces qui le composent ne sont ni des triangles, ni des carrés, ni des pentagones, ce ballon présente un grand nombre de propriétés qu'il partage avec un polyèdre régulier. La question est donc la suivante:

Quel polyèdre régulier partage un grand nombre de caractéristiques avec le ballon de l’Euro 2016?

Quelques faits sur le ballon pourront peut-être vous aider:

- le ballon est composé de 6 pièces en forme de croix cousues ensemble

- il existe 8 points où trois pièces se rencontrent

Petit rappel: un polyèdre est dit régulier si toutes ses faces sont des polygones réguliers identiques, et qu'il y a un même nombre d'arêtes qui convergent à chaque sommet. Il existe exactement cinq polyèdres convexes, connus sous le nom de solides platoniciens, répondant à cette définition: le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre.

La solution

Le ballon de foot de l'Euro 2016 partage un grand nombre de caractéristiques avec le cube! En effet, tout comme le cube, il possède:

- 6 faces (en forme de croix)

- 12 arêtes (les coutures entre "deux sommets" relient exactement deux pièces en forme de croix)

- 8 sommets (les points où exactement trois pièces se rencontrent)

De plus, il possède les mêmes axes de rotation qui le laissent invariant, à savoir:

- 3 axes de rotation d'un quart de tour: axes passant par le centre de deux faces opposées;

- 6 axes de rotations d'un demi-tour: axes passant par le milieu de deux arêtes opposées;

- 4 axes de rotation d'un tiers de tour: axes passant par deux sommets opposés;

En revanche, à la différence du cube, il ne possède pas de plans de symétrie car la pièce en forme de croix ne possède pas de symétrie axiale.

Si vous voulez en savoir plus sur les particularités mathématiques de ce ballon, nous vous suggérons de lire l'article d'Étienne Ghys — "Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde" sur le site d'Image des mathématiques.

Mathscope, Université de Genève, RTS Découverte