![Sans les multiples de douze!? On va essayer ça. [Fotolia - Maxim_Kazmin]](https://img.rts.ch/decouverte/sciences-et-environnement/maths-physique-chimie/probleme-du-mois/2017/image/ajt3mk-27791598.image?w=1280&h=720 "Sans les multiples de douze!? On va essayer ça. [Fotolia - Maxim_Kazmin]")
La solution!
Tous les mois, retrouvez ici le problème de maths du mois concocté pour vous par le Mathscope de l'Université de Genève, avec, quelque temps plus tard, sa solution. En ce mois de janvier 2017, on vous propose d'additionner les nombres entiers. Facile? Faut voir...
L'énigme
Une mère à son fils lors d’un long voyage en train:
- Arrête de gigoter partout et reste tranquille!
- Mais je m’ennuie!!
- Alors additionne tous les nombres entiers jusqu'à 1'728.
- Trop facile, maman, je connais la formule*.
- Très bien, alors additionne tous les nombres entiers jusqu'à 1'728 sauf les multiples de douze.
Quel résultat va trouver le fils? Et surtout, comment va-t-il procéder?
La solution
Le fils devrait trouver 1’368'576.
En effet, faire la somme de 1 à 1'728, c’est facile grâce à la formule de la somme des entiers de 1 à n.
Pour rappel*, la somme des entiers de 1 à n est donnée par n∙(n+1)/2.
Ici n = 1'728, on a donc 1'728 ∙ 1'729 / 2 = 1’493'856.
Il s’agit maintenant de soustraire tous les multiples de 12.
Première remarque : 1'728 est un multiple de 12, c’est 144 ∙ 12.
Il faut donc soustraire : 12 + 24 + 48 + 60 + … + 1'728.
Or, tous ces nombres sont des multiples de 12. On peut donc écrire cette somme comme :
12 ∙ (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 144)
Autrement dit, il faudra soustraire 12 fois la somme des nombres entiers de 1 à 144. On peut donc à nouveau utiliser la formule pour obtenir : 12 ∙ (144 ∙ 145 / 2) = 12 ∙ 10'440 = 125'280.
Finalement, la somme des nombres entiers de 1 à 1'728 sauf les multiples de douze vaut 1’368'576.
Petite remarque de la mère mathématicienne : 1'728 n’a pas été choisi au hasard. Vous avez peut-être remarqué que c’est 123 (par exemple, lorsqu’on a constaté que 1'728 = 12 ∙ 144).
Ainsi, on a calculé la somme des nombres de 1 jusqu’au cube d’un certain nombre a sauf les multiples de ce même nombre a. Essayons alors de trouver une jolie formule pour calculer cette somme. En utilisant le même raisonnement que ci-dessous, nous pouvons écrire :
a3∙ (a3 + 1)/2 - a ∙ (a2∙ (a2+1)/2)
= ½ ∙ a3 ∙ (a3 + 1 – (a2 + 1))
= ½ ∙a3 (a3 – a2)
= a5 ∙ (a - 1)/2
En remplaçant a par 12, on obtient bien 1'368'576.
Mathscope, Université de Genève, RTS Découverte
*Pour ceux qui ne connaîtraient pas cette formule, voir par exemple le problème du mois d'avril 2011.
Adapté d’un problème proposé par le MoMath (New York) dans le cadre de sa collaboration avec le Wall Street journal, Varsity Math
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