![La tradition de la transhumance perdure. [Coco]](https://img.rts.ch/articles/2015/image/663ivx-26048761.image?w=1280&h=720 "La tradition de la transhumance perdure. [Coco]")
La solution!
Tous les mois, retrouvez ici le problème de maths du mois concocté pour vous par le Mathscope de l'Université de Genève, avec, quelque temps plus tard, sa solution. En ce mois de mars 2017, on vous propose encore une histoire (de) vache!
L'énigme
Le propriétaire d’un ranch du Wyoming achète une vache blanche et, l’année suivante, une vache rouge. Chaque année suivante, il répète ses achats des deux années précédentes en achetant le même nombre de vaches et dans le même ordre. Ainsi, la troisième année, il achète une vache blanche puis une vache rouge. La quatrième année, il achète une vache rouge puis une vache blanche, suivie d’une vache blanche, et ainsi de suite pour les années suivantes.
De quelle couleur sera la 99 vache?
La solution
La 99 vache est rouge.
Pour commencer, observons le nombre de vaches achetées chaque année:
Année 1 1 vache achetée 1 vache au total
Année 2 1 vache achetée 2 vaches au total
Année 3 2 vaches achetées 4 vaches au total
Année 4 3 vaches achetées 7 vaches au total
Année 5 5 vaches achetées 12 vaches au total
Année 6 8 vaches achetées 20 vaches au total
Année 7 13 vaches achetées 33 vaches au total
Année 8 21 vaches achetées 54 vaches au total
Année 9 34 vaches achetées 88 vaches au total
Année 10 55 vaches achetées 143 vaches au total
Les lecteurs attentifs reconnaîtront au passage la suite de Fibonacci dans le nombre de vaches achetées chaque année. La 99ème vache correspond donc à la 11ème vache achetée la 10ème année.
Or les couleurs des 55 vaches achetées la 10ème année correspondent dans l’ordre aux couleurs des 21 vaches achetées en année 8 et des 34 vaches achetées en année 9. La couleur de la 11ème vache de l’année 10 correspond donc à la couleur de la 11ème vache de l’année 8.
De la même manière, les couleurs des 21 vaches achetées la 8ème année correspondent dans l’ordre aux couleurs des 8 vaches achetées en année 6 et des 13 vaches achetées en année 7. La couleur de la 11ème vache de l’année 8 correspond donc à la couleur de la 3ème vache de l’année 7.
De la même façon, on déduit ensuite que la couleur de la 3ème vache de l’année 7 correspond à la couleur de la 3ème vache de l’année 5. Puis que la couleur de la 3ème vache de l’année 5 correspond à la couleur de la 1ère vache de l’année 4.
Cette première vache de l’année 4 est de la même couleur que la vache achetée en année 2, c’est-à-dire ROUGE.
Merci à un de nos lecteurs pour cette réponse très détaillée!
Notons aussi qu’une petite erreur s’est glissée dans l’énoncé du problème: l’ordre des couleurs des vaches la quatrième année est bien rouge puis blanche, suivie d’une vache rouge (et non blanche).
Mathscope, Université de Genève, RTS Découverte
Tiré de American Mathematical Monthly, vol 63 (1956), cité dans L’algèbre mode d’emploi, Gérard Charrière, Fournitures et éditions scolaires du canton de Vaud, 1995.
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