La solution!

L'énigme

Matteo rentre de l'école très enthousiaste. Aujourd'hui, le maître de classe a proposé une activité de clarification d'eau trouble. Matteo et ses camarades ont pu filtrer de l'eau avec toutes sortes d'objets du quotidien ainsi qu'avec du charbon actif.

À la maison, il demande quelque peu insolemment à sa mère mathématicienne:

- Tu ne peux pas faire des expériences comme ça avec les maths, n'est-ce pas?
- En effet, mais moi je peux les modéliser!
- Modéliser?

Sa mère sort alors les trois dessins ci-dessus et explique à Matteo:

- Chacun de ces dessins représente un filtre à charbon actif. Cependant, un seul de ces dessins correspond parfaitement à la réalité. Celui-ci sera un modèle mathématique sur lequel on peut faire des raisonnements théoriques. Saurais-tu trouver le bon modèle et m'expliquer ton choix?

Pourriez-vous aider Matteo à répondre à sa mère?

La solution

Le modèle qui modélise le mieux la filtration par charbon actif est le Modèle 1.

La première question que l’on doit se poser est "Que doit-on modéliser?"

Lors d’une filtration par charbon actif, le liquide (ici de l’eau) doit pouvoir traverser la couche de charbon et toucher un maximum de surface de charbon pour pouvoir y déposer les impuretés. Notre modèle doit donc respecter ces deux critères.

Examinons en détail chaque modèle.

Modèle 2: les particules de charbon sont trop tassées et l’eau ne peut pas s’écouler.

Modèle 1 et 3: l’eau s’écoule de haut en bas sans obstruction. Cependant, dans le modèle 3, bien que la surface utile (c’est-à-dire la longueur totale des segments du pavage atteignables par le liquide) est supérieure à celle du modèle 1, le parcours effectif d’une goutte d’eau ne touche qu’une petite partie de cette surface utile. À l’opposé, dans le modèle 1, une goutte d’eau est obligée de toucher une grande partie de la surface utile, c’est pourquoi le modèle 1 représente un meilleur modèle.

Ces trois dessins sont des modèles de percolation. Pour les construire, on se donne un pavage du plan en hexagones et pour chaque hexagone on tire au hasard avec une certain probabilité p si le pavé est colorié ou non. Dans le cas de ces dessins, les probabilités p sont respectivement 49%, 60% et 40%. Avec une probabilité inférieure à 50%, on est certains d’avoir un chemin qui traverse le modèle. Avec une probabilité supérieure à 50%, on est certains de n’avoir aucun chemin qui traverse le modèle. Avec une probabilité égale à 50%, on a une condition limite que l’on appelle transition de phase. Comprendre cette transition de phase sur différents types de pavages ou de réseaux ou déterminer la longueur ou la forme de la "surface utile" ne sont que quelques exemples des enjeux de la théorie de la percolation sur laquelle travaille entre autres le Prof. Stanislav Smirnov, médaille Fields en 2010.

La classe de Matteo faisait partie de la quarantaine de classes de primaire genevoises ayant participé au concours proposé par le Chimiscope et le Mathscope Eau - Source de vie, lancé à l’occasion de l’Année internationale du Tourisme durable pour l’environnement. Les classes du primaire participantes ont reçu de l’eau trouble à clarifier, du charbon actif et les pavages du problème de ce mois. Les enfants ont très bien compris la modélisation, pour preuve voici l’explication qui accompagnait l’image ci-dessus (classe de 3P, 6-7 ans):

Le modèle 2 n’est pas bon, car l’eau ne peut pas traverser. Le modèle 3 a trop de trous et l’eau passe trop vite. Le modèle 1 est le meilleur, car l’eau passe plus lentement et il y a beaucoup de matière qui filtre.

Mathscope, Université de Genève, RTS Découverte