![Quels skis choisir pour partir? [Fotolia - © DutchScenery]](https://img.rts.ch/articles/2017/image/5w8fe1-27767126.image?w=1280&h=720 "Quels skis choisir pour partir? [Fotolia - © DutchScenery]")
La solution!
Tous les mois, retrouvez ici le problème de maths du mois concocté pour vous par le Mathscope de l'Université de Genève, avec, quelque temps plus tard, sa solution. En ce mois de novembre 2017, on vous propose de partir skier. Mais est-ce si simple de choisir entre ses vieux skis et la location de nouveaux skis?
L'énigme
Vous partez en voiture avec votre conjoint et vos deux enfants pour passer une semaine aux sports d’hiver. Allez-vous emporter vos 4 paires de vieux skis et chaussures adaptées?
Il vous faudrait pour cela acheter une longue boîte spéciale que l’on attache sur le toit de la voiture (240 francs). Or, il y a une chance sur 4 pour que chacune des paires de skis casse et une chance sur 5 pour que chaque paire de vieilles chaussures n’aille plus et qu’il faille alors louer un assortiment de skis et chaussures modernes (120 francs par semaine et par personne).
Bref, que décidez-vous?
La solution
![La solution au problème de mathématiques de RTS Découverte du mois de novembre 2017. [Fotolia - © DutchScenery]](https://img.rts.ch/articles/2017/image/r850oa-27767125.image?mw=1280 "La solution au problème de mathématiques de RTS Découverte du mois de novembre 2017. [Fotolia - © DutchScenery]")
Il vaut mieux emporter les vieux skis, tout en s’attendant à payer 192 CHF de location éventuelle.
En effet, dans le cas où on n’emporte pas les skis, il faudra payer 4 x 120 = 480 CHF pour la location pour toute la famille.
Dans le cas où on emporte les skis, il faudra acheter la boîte de transport pour 240 CHF plus l’éventuelle location. Le tout est de chiffrer le coût de cette location éventuelle en fonction de la probabilité de casser des skis et de la probabilité que les chaussures n’aillent plus. Pour cela, on utilise l’Espérance, c’est-à-dire ici la moyenne des coûts pondérée par la probabilité qu’un tel coût se présente.
Calculons alors l’espérance du prix dépensé par un membre de la famille qui a emporté ses skis. La situation est récapitulée dans l’arbre ci-dessous.
Il y a une chance sur 4 que les skis cassent et qu’il faille louer tout le matériel.
Dans le cas contraire, il y a une chance sur 5 que les chaussure n’aillent plus qu’il faille louer tout le matériel.
Ainsi l’Espérance du prix par personne se calcule:
E(prix/personne) = 1/4 × 120 + 3/4 (1/5 × 120 + 4/5 × 0) = 48 CHF.
Comme le fait qu’un ski casse ou qu’une chaussure n’aille plus est indépendant du fait que le ski d’un autre membre de la famille casse, on peut multiplier cette espérance par 4 pour obtenir l’Espérance totale. Et si on veut être complets, on ajoute aussi le prix de la boîte. Cela donne donc:
E(prix total si on emporte les skis) = 4 E(prix/personne) + Prix de la boîte
= 4 × 48 + 240 = 432 CHF
ce qui est inférieur au coût de la location pour toute la famille.
Mathscope, Université de Genève, RTS Découverte
Tiré de 150 énigmes de logique et de probabilités de 13 à 113 ans, Marie Agrell, Ellipses, Paris, 2016.
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