![Blanche-Neige et les sept Nains. [Fotolia - vologil]](https://img.rts.ch/articles/2018/image/g3mcfd-27766723.image?w=1280&h=720 "Blanche-Neige et les sept Nains. [Fotolia - vologil]")
Tous les mois, retrouvez ici le problème de maths du mois concocté pour vous par le Mathscope de l'Université de Genève, avec, quelque temps plus tard, sa solution. En ce mois de janvier 2018, on vous propose de distribuer la récolte de champignons de Blanche-Neige.
L'énigme
À son retour d’une fructueuse cueillette de champignons, Blanche-Neige trouve les sept Nains alignés devant la petite maison au fond des bois, tout inquiets de ne pas la trouver à la maison. Pour les adoucir, Blanche-Neige leur distribue sa délicieuse récolte.
Elle donne un certain nombre de champignons au premier, puis ce même nombre plus un au deuxième, et ainsi de suite. Chaque Nain reçoit ainsi un champignon de plus que le Nain précédent.
Sachant qu’au total les Nains ont reçu un nombre C de champignons, combien en a reçus le dernier Nain?
Petit indice: si le côté abstrait du nombre C vous bloque, essayez d’abord avec 707 champignons.
La solution
Le dernier Nain recevra C/7+3 champignons.
En effet, nous savons que le nombre total de champignons est C et que chaque Nain reçoit un champignon de plus que le Nain précédent. On peut donc écrire
N + (N + 1) + (N + 2) + (N + 3) + (N + 4) + (N + 5) + (N + 6) = C
7N + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = C
7N + 6 ∙ 7/2 = C
Les habitués du problème du mois reconnaîtront la formule du petit Gauss pour trouver la somme des 6 premiers entiers. Ainsi
N + 3 = C/7
Finalement, le premier nain recevra N = C/7 – 3 champignons et le dernier en recevra 6 de plus, soit
C/7 + 3
Avec 707 champignons, le dernier Nain en recevra donc 104.
Il existe bien sûr d’autres manières de résoudre ce problème.
Mathscope, Université de Genève, RTS Découverte
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