La solution

L'énigme

"Passe encore que les enfants aient gribouillé sur le set de table mais pourquoi l’ont-ils découpé de cette manière?" pense, exaspérée, Capucine. En mère créative et un peu mathématicienne, elle se dit cependant qu’elle va pouvoir en faire quelque chose. Elle rectifie donc le bord sauvagement découpé et se retrouve avec le coupon de tissu illustré ci-dessus. Elle s’arrange pour que le triangle rectangle en bas à droite soit isocèle et de côté la moitié de celui du carré.

Capucine a en effet une idée derrière la tête: elle veut tester en vrai la solution d’un problème qu’elle a trouvé il y a quelque temps dans un livre d’énigmes mathématiques. Il s’agissait de découper une telle forme en trois pièces de sorte à pouvoir former un carré parfait.

Comment Capucine doit-elle découper son coupon en trois pièces pour obtenir ce fameux carré?

La solution

Pour pouvoir construire un carré à partir du set de table, il faudrait en connaître l’aire. Supposons que le côté du carré ait une longueur 2a. Ainsi, la partie carrée du set de table aura une aire de 4a² tandis que la partie triangulaire aura une aire de une aire de 4a2 tandis que la partie triangulaire aura une aire de a2/2. Le set de table a donc une aire totale de

Aire du set = 9a²/2

Le côté d’un carré de même aire aurait donc une longueur de 3a/√2 = 3/4 ∙ √2 ∙ a
et une diagonale d’une longueur 3a.
(Rappelons que par le Théorème de Pythagore, la diagonale d’un carré de côté c vaut √2 ∙ c .)

Or, 3a est justement la longueur de la base du set de table. Capucine devra alors réaliser deux coups de ciseaux: le premier prolonge l’hypoténuse de la partie triangulaire pour arriver exactement au milieu du côté supérieur de la partie carrée. Le deuxième coup de ciseau sera le long de la diagonale de la partie carrée en partant d’en bas à gauche. Ce coup de ciseau se terminera à l’intersection avec le premier coup de ciseau; on obtient ainsi un coup de ciseau d’une longueur équivalant aux trois-quarts de la diagonale de la partie carrée (valant donc exactement 3/4 ∙ √2 ∙ a).

Capucine pourra finalement réarranger les trois pièces obtenues comme sur l’image ci-dessus.

Mathscope, Université de Genève, RTS Découverte

Librement inspiré de Les casse-tête mathématiques de Sam Loyd, Martin Gardner, Editions Dunod, Paris, 1970.