![Les pavages du Patio de los Arrayanes du Palais de l’Alhambra de Grenade et d’un tableau de l’artiste néerlandais M. C. Escher. [DR - © Michael Clarke Stuff]](https://img.rts.ch/articles/2018/image/cl0ogf-27756897.image?w=1280&h=720 "Les pavages du Patio de los Arrayanes du Palais de l’Alhambra de Grenade et d’un tableau de l’artiste néerlandais M. C. Escher. [DR - © Michael Clarke Stuff]")
Les mathématiques et l'art
Tous les mois, retrouvez ici le problème de maths du mois concocté pour vous par le Mathscope de l'Université de Genève, avec, quelque temps plus tard, sa solution. En ce mois de juin 2018, on vous proposait une énigme en lien avec la présence du Mathscope à la Nuit de la science, qui s'est déroulée les 7 et 8 juillet au Parc de la Perle du lac à Genève.
L'énigme
Ci-dessus, deux exemples de pavages, l’un provenant du Patio de los Arrayanes du Palais de l’Alhambra de Grenade et l’autre d’un tableau de l’artiste néerlandais M. C. Escher.
Ces deux pavages sont-ils fondamentalement différents?
On ne tiendra pas compte des couleurs du pavage de gauche.
La solution
Les deux pavages sont différents, bien qu'ils partagent une certaine symétrie.
En effet, tous deux possèdent une rotation à 90° ainsi qu'une symétrie miroir d'axe vertical. Cependant, le pavage de gauche possède une symétrie miroir avec un axe à 45° que ne possède pas le pavage de droite.
![Les pavages du Patio de los Arrayanes du Palais de l’Alhambra de Grenade et d’un tableau de l’artiste néerlandais M. C. Escher. [DR - © Michael Clarke Stuff]](https://img.rts.ch/decouverte/sciences-et-environnement/maths-physique-chimie/probleme-du-mois/les-solutions/2018/image/sffp0m-27756896.image?mw=1280 "Les pavages du Patio de los Arrayanes du Palais de l’Alhambra de Grenade et d’un tableau de l’artiste néerlandais M. C. Escher. [DR - © Michael Clarke Stuff]")
Pour classer les pavages, il est utile d'observer leurs symétries. C’est grâce à elles qu'il est possible de classer tous les pavages en exactement 17 classes, par exemple avec la clé de détermination ci-dessous. Avec cette clé, on remarque que le pavage de gauche (Alhambra) appartient à la classe p4m tandis que celui de droite (Escher) appartient à la classe p4g. Le nom des différentes classes vient de la notation utilisée en cristallographie.
On peut aussi utiliser la notation de Conway. On a alors respectivement *442 pour celui de gauche et 4*2 pour celui de droite. Pour comprendre cette notation, vous pouvez consulter le site geogebra.org.
Mathscope, Université de Genève, RTS Découverte
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